Razón de radios

este problema fue publicado en Gaussianos y esta es la solución que le di yo… cabe destacar que se presentaron numerosas soluciones al problema, y varias de ellas tenían la misma respuesta!.

Enunciado

Dos circunferencias son tangentes exteriores entre sí y a dos rectas perpendiculares como muestra la figura:

2308459933_7480e5c1f2_o_d.gif

¿Cuál es el cociente de sus diámetros?

Solucion:

Tomando prestada otra imagen de Gaussianos:

croquis2.png

lo que vamos ha hacer es encontrar las componentes cartesianas del centro del circulo grande, esto se hace asi

(1)
\begin{align} X = r + r Cos(\pi / 4) +R Cos(\pi / 4) = R \end{align}
(2)
\begin{align} Y = r + r Sen(\pi / 4) +R Sen(\pi / 4) = R \end{align}

luego tomamos cualquiera de estas expresiones y encontramos $R/r$ de la siguiente manera:

1.- Despejar r y R, convirtiendo el Coseno (o Seno) en su valor numerico de $\sqrt{2}/2$
(3)
\begin{align} r (1+\frac{\sqrt{2}}{2}) = R (1- \frac{\sqrt{2}}{2}) \end{align}
2.- Despejar $R/r$
(4)
\begin{align} \frac{R}{r} = \frac{2+\sqrt{2}} {2- \sqrt{2}} \end{align}
3.- Racionalizar.
(5)
\begin{align} \frac{R}{r} = \frac{2+\sqrt{2}} {2- \sqrt{2}} \cdot {~} \frac{2+\sqrt{2}} {2+ \sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2} \end{align}
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