¿Que Numero es Mayor?

Este problema es interesante y fue publicado en gaussianos.com, esta es la solucion que yo le dí al problema 1.

Enunciado

Sin utilizar la calculadora dar un procedimiento para determinar cuál es el número más grande entre $e^\pi$ y $\pi^e$

Respuesta

Respuesta 1

¿pre requisitos?

Para contestar esta pregunta necesitamos saber solo 2 cosas

(1)
\begin{align} e < \pi \end{align}
(2)
\begin{align} a < b \Leftrightarrow Log(a)<Log(b) \end{align}

Procedimiento

Dicho esto procedemos.

Definimos: $h = e^\pi - \pi^e = e^\pi - e^{e* Ln(\pi)}$

Entonces:
si $h>0 \Rightarrow e^\pi > \pi^e$
o $h<0 \Rightarrow e^\pi < \pi^e$


Recordando las series:

(3)
\begin{align} e^\pi = 1 +\pi + \frac{\pi^2}{2!} + \frac{\pi^3}{3!} + \ldots + \frac{\pi^n}{n!} + \ldots \end{align}
(4)
\begin{align} e^{e \cdot Ln(\pi)} = 1 +(e \cdot Ln(\pi)) + \frac{(e \cdot Ln(\pi))^2}{2!} + \frac{(e \cdot Ln(\pi))^3}{3!} + \ldots + \frac{(e \cdot Ln(\pi))^n}{n!} + \ldots \end{align}

de esta manera podemos escribir h como la suma (resta) termino-a-termino de estas dos series.

(5)
\begin{align} h = \sum_{i=0}^{ \infty} \frac{\pi^i - (e \cdot Ln(\pi))^i}{i!} = \sum_{i=0}^{ \infty} \frac{f(i)}{i!} \end{align}

En donde $f(i) = \pi^i - (e \cdot Ln(\pi))^i$

En lo que resta de este apartado, lo que se pretenderá demostrar es que para todo i, f(i)>0, es decir que cada termino de la serie de $e^{\pi}$ es mayor que el correspondiente en la serie de $\pi^e$, dejando demostrado asi pues que $h>0 \wedge e^\pi > \pi^e$

La única concesión que se debe realizar es la siguiente: i es una variable discreta, toma todos los valores naturales, por ende el recorrido de f (todos los valores que toma f(i)) es también discreto. Si entrar en muchos detalles, si decidimos continuisar i permitiéndole tomar cualquier valor, entonces podemos estudiar el comportamiento de f a través del calculo diferencial sin perder ninguna propiedad, o ganar alguna distorsión.

Derivando f y evaluando en i=0 se obtiene:

(6)
\begin{align} f'(i) = Ln(\pi) \cdot \pi^i - Ln(e \cdot Ln(\pi)) \cdot (e \cdot Ln(\pi))^i \end{align}
(7)
\begin{align} f'(0) = Ln(\pi) - Ln(e \cdot Ln(\pi)) = Ln \left( \frac{\pi}{e \cdot Ln(\pi)} \right) \end{align}
(8)
\begin{align} f'(0) > 0 \Leftrightarrow Ln \left( \frac{\pi}{e \cdot Ln(\pi)} \right) >0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{e \cdot Ln(\pi)} > 1 \end{align}

Decimos que $\pi / (e \cdot Ln(\pi)) > 1$ por los siguientes motivos (recuerde que el pre requisito del problema era sin calculadora, por lo tanto hay que justificar todos los números).

(9)
\begin{align} \pi > e \Rightarrow Ln(\pi) > Ln(e) = 1 \Rightarrow 0<\frac{1}{Ln(\pi)} < 1 \end{align}

y tambien

(10)
\begin{align} \pi > e \Rightarrow \frac{\pi}{e} > 1 \end{align}

pero $Ln(\pi)$ es ligeramente mayor que 1 entonces $1/Ln(\pi)$ es ligeramente menor que 1, pero $\pi/e$ es relativamente mayor que 1, entonces $(\pi/e) \cdot 1/Ln(\pi) >1$.

De lo cual se saca como conclusión que f esta creciendo en i=0. Como f(0)=0 entonces se sabe que para algunos i>0, f(i)>0. si no existiera ningun maximo para i>0, quiere decir que f es siempre positiva, demostrando lo dicho anteriormente.

Encontremos los maximos de f.

(11)
\begin{align} f'(i) = 0 \Rightarrow Ln(\pi) \cdot \pi^i - Ln(e \cdot Ln(\pi)) \cdot (e \cdot Ln(\pi))^i = 0 \end{align}
(12)
\begin{align} \Rightarrow \left( \frac{\pi}{e \cdot Ln(\pi)} \right)^i = \frac{Ln(e \cdot Ln(\pi))}{Ln(\pi)} \end{align}

Ya se menciono en Eq.(8) que $\pi/(e \cdot Ln(\pi) )>1$. de lo cual se puede concluir.

(13)
\begin{align} \pi > e \cdot Ln(\pi) \\ \Rightarrow Ln(\pi) > Ln(e \cdot Ln(\pi) )\\ \Rightarrow \frac{Ln(e \cdot Ln(\pi) )} {Ln(\pi)} <1 \end{align}

Entonces para que se cumpla Eq.(12) es imperativo que $i<0$ por lo que se conculco que f tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión solo para i<0.

como f es monótonamente creciente para i>0 y f>0 para i>0 entonces se concluye que h>0 con lo cual se demuestra que

(14)
\begin{align} e^\pi > \pi^e \end{align}

Respuesta 2

Sin calculadora pero con google, siempre se puede realizar una búsqueda de "e^pi -pi^e" y obtener la respuesta

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