Rebote infinito, tiempo finito

Este problema tiene por objetivo ilustrar como la vida puede llegar a ser muy extraña, un (gran) matemático dijo una ves "aquellos que crean que la matemática es difícil, no saben como es la vida" o algo así.

En si, al final de este problemas vamos a demostrar que una pelota de masa m que se suelta de un altura h₀ y que pierde una cantidad $(1-\epsilon)\%$ de energía al rebotar en el suelo, realiza infinitos rebotes, pero lo hace en un tiempo finito.

Desarrollo

Tenemos una pelota de una altura h₀. La energía inicial de la pelota es $E_0 = U_0 = m g h_0$ .

Si tomamos el suelo como el punto donde la energía potencial es cero¹, entonces al llegar al suelo toda la energía potencial se transforma en energía cinética. El tiempo que se demora en caer la pelota, desde una altura h_n cualquiera, es:

(1)

$t_n = \sqrt{\frac{h_n}{2g}}$

y si la energía justo antes de rebotar era E_n después de rebotar ha perdido $(1-\epsilon)$ de energía. Entonces la energía después del rebote es:

(2)

$E_{n+1} = E_n \cdot (1- (1-\epsilon)) = E_n \cdot \epsilon$

Luego podemos decir que:

(3)

$E_{1} = E_0 \cdot \epsilon \ E_{2} = E_1 \cdot \epsilon = E_0 \cdot \epsilon^2 \ \vdots \\$

(4)

$E_{n} = E_0 \cdot \epsilon^n$

Como:

(5)

$E_n = m \cdot g \cdot h_n$

mezclando Eq.(4) con Eq.(5), podemos obtener la altura despues de n rebotes.

(6)

$m \cdot g \cdot h_n = m \cdot g \cdot h_0 \cdot \epsilon^n$

(7)

$h_n = h_0 \cdot \epsilon^n$

Ahora finalmente, que tenemos todos los antecedentes, pensemos y repasemos… cuando se suelta la pelota, esta se demora, $\sqrt{2h_0/g}$ en llegar al suelo, luego rebota y al hacerlo, la pelota pierde energía, esta comenzara a subir y se demorara, $\sqrt{2h_1/g} = \sqrt{2h_0 \epsilon /g}$ , cuando alcance su nueva altura máxima (menor que la inicial porque hubo una perdida energía), la pelota comenzara a bajar, el tiempo que tomara la pelota en bajar sera el mismo que tomo en subir. La pelota va a perder otra ves energía al llegar al suelo y rebotar. Asi va a seguir rebotando hasta que se le acabe la energía (cosa que no pasa nunca porque $\epsilon^n =0$ solo cuando n tiende a infinito).

Entones el tiempo total es.

(8)

$T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon^2}{g}} + \dots + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon^n}{g}} + \dots\ T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(\epsilon^{1/2} +\epsilon^{2/2} + \epsilon^{3/2}+\dots) \\$

si hacemos $\sigma = \epsilon^{1/2}$ la serie queda²:

(9)

$T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(\sigma +\sigma^2 + \sigma^3+\dots) \\$

La serie $\sigma +\sigma^2 + \sigma^2+\dots$ es una serie geometrica que como $0<\sigma <1$ converge a $\sigma / (1-\sigma)$ .

finalmente el tiempo total de los rebotes queda.

(10)

$T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\frac{\sigma}{1-\sigma} \ T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}(1+ \frac{2\sigma}{1-\sigma})\\$