Rebote infinito, tiempo finito

Este problema tiene por objetivo ilustrar como la vida puede llegar a ser muy extraña, un (gran) matemático dijo una ves "aquellos que crean que la matemática es difícil, no saben como es la vida" o algo así.

En si, al final de este problemas vamos a demostrar que una pelota de masa m que se suelta de un altura h0 y que pierde una cantidad $(1-\epsilon)\%$ de energía al rebotar en el suelo, realiza infinitos rebotes, pero lo hace en un tiempo finito.

Desarrollo

Tenemos una pelota de una altura h0. La energía inicial de la pelota es $E_0 = U_0 = m g h_0$.

Si tomamos el suelo como el punto donde la energía potencial es cero1, entonces al llegar al suelo toda la energía potencial se transforma en energía cinética. El tiempo que se demora en caer la pelota, desde una altura hn cualquiera, es:

(1)
\begin{align} t_n = \sqrt{\frac{h_n}{2g}} \end{align}

y si la energía justo antes de rebotar era En después de rebotar ha perdido $(1-\epsilon)$ de energía. Entonces la energía después del rebote es:

(2)
\begin{align} E_{n+1} = E_n \cdot (1- (1-\epsilon)) = E_n \cdot \epsilon \end{align}

Luego podemos decir que:

(3)
\begin{eqnarray} E_{1} = E_0 \cdot \epsilon \\ E_{2} = E_1 \cdot \epsilon = E_0 \cdot \epsilon^2 \\ \vdots \\ \end{eqnarray}
(4)
\begin{align} E_{n} = E_0 \cdot \epsilon^n \end{align}

Como:

(5)
\begin{align} E_n = m \cdot g \cdot h_n \end{align}

mezclando Eq.(4) con Eq.(5), podemos obtener la altura despues de n rebotes.

(6)
\begin{align} m \cdot g \cdot h_n = m \cdot g \cdot h_0 \cdot \epsilon^n \end{align}
(7)
\begin{align} h_n = h_0 \cdot \epsilon^n \end{align}

Ahora finalmente, que tenemos todos los antecedentes, pensemos y repasemos… cuando se suelta la pelota, esta se demora, $\sqrt{2h_0/g}$ en llegar al suelo, luego rebota y al hacerlo, la pelota pierde energía, esta comenzara a subir y se demorara, $\sqrt{2h_1/g} = \sqrt{2h_0 \epsilon /g}$, cuando alcance su nueva altura máxima (menor que la inicial porque hubo una perdida energía), la pelota comenzara a bajar, el tiempo que tomara la pelota en bajar sera el mismo que tomo en subir. La pelota va a perder otra ves energía al llegar al suelo y rebotar. Asi va a seguir rebotando hasta que se le acabe la energía (cosa que no pasa nunca porque $\epsilon^n =0$ solo cuando n tiende a infinito).

Entones el tiempo total es.

(8)
\begin{eqnarray} T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon^2}{g}} + \dots + 2\sqrt{\frac{2h_0\epsilon^n}{g}} + \dots\\ T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(\epsilon^{1/2} +\epsilon^{2/2} + \epsilon^{3/2}+\dots) \\ \end{eqnarray}

si hacemos $\sigma = \epsilon^{1/2}$ la serie queda2:

(9)
\begin{eqnarray} T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}(\sigma +\sigma^2 + \sigma^3+\dots) \\ \end{eqnarray}

La serie $\sigma +\sigma^2 + \sigma^2+\dots$ es una serie geometrica que como $0<\sigma <1$ converge a $\sigma / (1-\sigma)$.

finalmente el tiempo total de los rebotes queda.

(10)
\begin{eqnarray} T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} + 2\sqrt{\frac{2h_0}{g}}\frac{\sigma}{1-\sigma} \\ T_{total} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}(1+ \frac{2\sigma}{1-\sigma})\\ \end{eqnarray}
(11)
\begin{eqnarray} T_{total} = t_0 \frac{1+\sigma}{1-\sigma}\\ \end{eqnarray}

Que es un numero igual de respetable como cualquier otro, entonces la pelota da infinitos rebotes, pero lo hace en un tiempo finito.

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