Encontrar La resistencia Equivalente
Este problema ha dado muchos problemas, y muchas horas de discusión sin sentido, a si que aquí propongo la solución, con un enfoque creativo y poco común.
Enunciado
En el circuito de la figura todas las resistencias poseen el mismo valor (R). encontrar la resistencia equivalente.
Solución
Supongamos que ponemos en los terminales A y B una fem de valor V. entonces el ambos circuitos de la figura son equivalentes si R' es la resistencia equivalente del circuito original.
El siguiente es el circuito original (con la fem imaginaria puesta).
El siguiente es el circuito equivalente.
Por ende envés de tratar de reducir el circuito original, utilizando combinaciones delta-estrella y otros elementos, hay que encontrar I0 para el circuito original porque R'=V/I0.
Escribimos las Ecuaciones de Kirchoff de Corrientes para cada nodo en el circuito:
(1)
\begin{eqnarray} I_{0}=I_{1}+I_{2}\\ I_{2}=I_{3}+I_{4}\\ I_{5} = I_{1}+ I_{3}\\ I_{6} = I_{4}+ I_{5} \end{eqnarray}
Escribimos las Ecuaciones de Kirchoff de Voltaje para cada nodo en el circuito, como hay que escribir 3 ecuaciones (hay solo 3 mallas), elegimos las siguientes:
Del nodo A al nodo b ( recordar que pusimos una fuente de voltaje imaginaria):
(2)
\begin{equation} V = R (I_{2} + I_{3} + I_{5}) \end{equation}
El siguiente recorrido lo realizaremos por la malla superior (malla I en la figura):
(3)
\begin{equation} 0 = R (3I_{1} - I_{3} - I_{2}) \end{equation}
Finalmente el siguiente recorrido sera por la maya inferior (malla II en la figura):
(4)
\begin{equation} 0 = R (I_{3} + I_{5} - 3I_{4}) \end{equation}
Ahora que se conosen tanto las ecucaciones de voltaje como las de corriente, se puede seleccionar que corrientes utilizar. Como se tienen 3 mallas, solo se necesitan 3 corrientes, se selecciona I0 porque es la que se esta buscando y 2 mas, de Eq.(1) se tiene:
(5)
\begin{eqnarray} I_{1}=I_{5}-I_{3}\\ I_{4}=I_{0}-I_{5}\\ I_{2} = I_{0}+ I_{3}-I_{5} \end{eqnarray}
Tomando Eq.(5) y reemplazando en Eq.(2), Eq.(3) y Eq.(4) cuando corresponda queda el siguiente sistema de ecuaciones. en donde I' = V/R.
Tomamos Eq.(2), definimos a I'=V/R y reemplazamos las corrientes de Eq.(5).
(6)
\begin{eqnarray} V = R (I_{2} + I_{3} + I_{5})\\ \frac{V}{R} = (I_{2} + I_{3} + I_{5}) \\ I' = (( I_{0}+ I_{3}-I_{5}) + I_{3} + I_{5}) \\ I' = ( I_{0} + 2I_{3} ) \\ \end{eqnarray}
Eq.(3) y Eq.(4) realizamos lo mismo
(7)
\begin{eqnarray} 0 = R (3I_{1} - I_{3} - I_{2})\\ 0 = 3I_{1} - I_{3} - I_{2}\\ 0 = 3(I_{5}-I_{3}) - I_{3} - (I_{0}+ I_{3}-I_{5})\\ 0 = -I_{0} -5I_{3}+ 4I_{5} \end{eqnarray}
(8)
\begin{eqnarray} 0 = R (I_{3} + I_{5} - 3I_{4})\\ 0 = I_{3} + I_{5} - 3I_{4}\\ 0 = I_{3} + I_{5} - 3(I_{0}-I_{5})\\ 0 = -3I_{0} +I_{3}+ 4I_{5} \end{eqnarray}
(9)
\begin{eqnarray} I' = I_{0} + 2I_{3} + 0I_{5}\\ 0 = -I_{0}-5I_{3}+4I_{5}\\ 0 = -3I_{0}-I_{3}+4I_{5}\\ \end{eqnarray}
Resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar el valor de I0 y aplicamos al problema equivalente.
Como se acostumbra hacer con estos problemas, se expresa el sistema de ecuaciones como una matriz, de esta manera se puede utilizar la regla de cramer (ya que solo interesa el valor de una sola variable).
(10)
\begin{align} \left( \begin{array}{c} I' \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & -5 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I_{0} \\ I_{3} \\ I_{5} \end{array} \right) \end{align}
Aplicando entonces la regla de cramer para I0 queda
(11)
\begin{align} I_{0}= \frac{\left| \begin{array}{ccc} I' & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & -5 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \end{array} \right|} = \frac{I' \left| \begin{array}{cc} -5 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} \right|} {1 \left| \begin{array}{cc} -5 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} \right| -2 \left| \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ -3 & 4 \end{array} \right|} = I'\frac{4 \left| \begin{array}{cc} -5 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right|} { \left| \begin{array}{cc} -3 & 4 \\ 7 & 4 \end{array} \right| } = I'\frac{ \left| \begin{array}{cc} -5 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right|} { \left| \begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 7 & 1 \end{array} \right| } \\ \end{align}
(12)
\begin{align} I_{0} = I'\frac{-5-1}{-3-1} = I'\frac{6}{10} = \frac{3}{5}I' \end{align}
(13)
\begin{align} I_{0} = \frac{3}{5}\frac{V}{R} \end{align}
Del circuito equivalente:
(14)
\begin{align} R' =\frac{V}{I_{0}} = \frac{V}{3V/5R} = \frac{5}{3} R \end{align}
Que es la respuesta que se buscaba
