Dos cargas lineales uniformes e iguales

Atencion!!!, ejercicio no apto para cardiacos.

Enunciado

Dos cargas lineales uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el mismo eje y separadas por una distancia d.

  1. ¿la fuerza que ejerce una carga sobre la otra?
  2. Demostrar que cuando d»L, la fuera tiende al resultado esperado:
(1)
\begin{align} F = K\frac{(\lambda \cdot L)^2}{d^2} \end{align}

Respuesta

Como los dos cuerpos son continuos, tenemos que hacer un análisis infinitesimal del asunto, a si que analicemos la fuerza que ejerce un diferencial de carga de una barra sobre otro diferencial de carga en la otra barra.

Parte 1

Barras_T_C23_93.png

De acuerdo con el esquema, la fuerza que ejerce una carga sobre la otra viene dada por:

(2)
\begin{align} d \vec{F} = K \frac{dq_1 dq_2}{ |{\vec{x_1}-\vec{x_2}} |^3} (\vec{x_1}-\vec{x_2}) \end{align}

Gracias a Dios la fuerza de estas dos barras solo se manifiesta en el eje X, a si se nos reduce un poquito la expresión debido a que:

(3)
\begin{align} |{\vec{x_1}-\vec{x_2}}| = (x_1-x_2) \end{align}

Juntando Eq.(3) en la expresión de $\vec{F}$ Eq.(2):

(4)
\begin{align} d F = K \frac{dq_1 dq_2}{ (x_1-x_2)^2} \end{align}

Para terminar el planteamiento del problema solo nos queda expresar los diferenciales de carga en termino de distancias o vise versa, elijamos mejor el primer camino, que se nos hace mas fácil.

Las dos barras tienen una distribución continua de carga lo que quiere decir que:

(5)
\begin{align} \lambda = \frac{q}{L} = \frac{dq}{dx} \end{align}
(6)
\begin{align} dq = \lambda dx \end{align}

reemplazando en la fuerza queda

(7)
\begin{align} d F = K \frac{dq_1 dq_2}{ (x_1-x_2)^2} = K \frac{\lambda dx_1 \lambda dx_2}{ (x_1-x_2)^2} = K \lambda^2 \frac{dx_1 dx_2}{ (x_1-x_2)^2} \end{align}

Tenemos dos diferenciales en la misma expresión, a si que aunque duela tenemos que resolver una integral doble. En este punto recomiendo al cristiano, prepararse un café o algo que lo acompañe en la resolución de este problema

(8)
\begin{align} F =K \lambda^2 \int_0^L \int_{L+d}^{2L+d} \frac{dx_1 dx_2}{ (x_1-x_2)^2} \end{align}

Si se nos ve difícil esta integral (pero esperemos que no, porque es bastante común resolver estas, y es mejor irse acostumbrando). Podemos hacer un leve cambio de variable, y todo se hace mas facil.

(9)
\begin{equation} u=x_1-x_2 \end{equation}

(dejando x1 constante y x2 variable)

(10)
\begin{equation} du = -dx_2 \end{equation}

los limites quedan:

para $x_2=L+d$ queda $u = x_1-L-d$

para $x_1=2L+d$ queda $u = x_1-2L-d$

Ahora Resolvemos.

(11)
\begin{align} F = - K \lambda^2 \int_{0}^{L}{\int_{x_1-L-d}^{x_1-2L-d}{\frac{du}{u^2} dx_1} \end{align}

Recordemos que:

(12)
\begin{align} \int{\frac{du}{u^2}} = C-\frac{1}{u} \end{align}

Entonces la integral queda:

(13)
\begin{align} F = K \lambda^2 \int_{0}^{L}{\left ( \frac{1}{x_1-2L-d}-\frac{1}{x_1-L-d} \right) }dx_1 \end{align}

Para resolver esta ultima integral solo se necesita recordar que:

(14)
\begin{align} \int_{u_1}^{u_2}{\frac{du}{u+a}}=Ln{ \left | \frac{u_2+a}{u_1+a} \right |} \end{align}
(15)
\begin{align} F = K \lambda^2 \left( Ln \left | \frac{L-2L-d}{-2L-d} \right |-Ln \left | \frac{L-L-d}{-L-d} \right | \right ) \end{align}
(16)
\begin{align} F = K \lambda^2 \left ( Ln \left | \frac{-L-d}{-2L-d} \right |- Ln \left | \frac{-d}{-L-d} \right | \right ) \end{align}
(17)
\begin{align} F = K \lambda^2 \left ( Ln \left | \frac{L+d}{2L+d} \right |-Ln \left | \frac{d}{L+d} \right | \right ) \end{align}

Por ultimo solo hay que recordar propiedades de logaritmo:

(18)
\begin{align} \vec{F} = K \lambda^2 Ln \left | \frac{(L+d)^2}{(2L+d)d} \left | \hat{i} \end{align}

Y esto es Todo!!!

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