Enunciado

Dos cargas lineales uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el mismo eje y separadas por una distancia d.

¿la fuerza que ejerce una carga sobre la otra?
Demostrar que cuando d»L, la fuera tiende al resultado esperado:

(1)

$F = K\frac{(\lambda \cdot L)^2}{d^2}$

Respuesta

Como los dos cuerpos son continuos, tenemos que hacer un análisis infinitesimal del asunto, a si que analicemos la fuerza que ejerce un diferencial de carga de una barra sobre otro diferencial de carga en la otra barra.

Parte 1

De acuerdo con el esquema, la fuerza que ejerce una carga sobre la otra viene dada por:

(2)

$d \vec{F} = K \frac{dq_1 dq_2}{ |{\vec{x_1}-\vec{x_2}} |^3} (\vec{x_1}-\vec{x_2})$

Gracias a Dios la fuerza de estas dos barras solo se manifiesta en el eje X, a si se nos reduce un poquito la expresión debido a que:

(3)

$|{\vec{x_1}-\vec{x_2}}| = (x_1-x_2)$

Juntando Eq.(3) en la expresión de $\vec{F}$ Eq.(2):

(4)

$d F = K \frac{dq_1 dq_2}{ (x_1-x_2)^2}$

Para terminar el planteamiento del problema solo nos queda expresar los diferenciales de carga en termino de distancias o vise versa, elijamos mejor el primer camino, que se nos hace mas fácil.

Las dos barras tienen una distribución continua de carga lo que quiere decir que:

(5)

$\lambda = \frac{q}{L} = \frac{dq}{dx}$

(6)

$dq = \lambda dx$

reemplazando en la fuerza queda

(7)

$d F = K \frac{dq_1 dq_2}{ (x_1-x_2)^2} = K \frac{\lambda dx_1 \lambda dx_2}{ (x_1-x_2)^2} = K \lambda^2 \frac{dx_1 dx_2}{ (x_1-x_2)^2}$

Tenemos dos diferenciales en la misma expresión, a si que aunque duela tenemos que resolver una integral doble. En este punto recomiendo al cristiano, prepararse un café o algo que lo acompañe en la resolución de este problema

(8)

$F =K \lambda^2 \int_0^L \int_{L+d}^{2L+d} \frac{dx_1 dx_2}{ (x_1-x_2)^2}$

Si se nos ve difícil esta integral (pero esperemos que no, porque es bastante común resolver estas, y es mejor irse acostumbrando). Podemos hacer un leve cambio de variable, y todo se hace mas facil.

(9)

$u=x_1-x_2$