Ejercicios

nada que decir

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Enunciado

Una esfera uniformemente cargada de radio R esta centrada en el origen con una carga Q. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre una línea uniformemente cargada orientada radialmente y con una carga total de q con sus extremos en r=R y r=R+d.

Respuesta

El esquema es mas o menos como el que esta en la figura:

Esquema_T_C23_92.png

Primero observemos lo que sucede con la barra.

BARRA_T_C23_92.png

La fuerza que actua soble la barra es:

(1)
\begin{align} d \vec{F}=\vec{E}dq \end{align}

Donde $\vec{E}$ es el campo electrico generado por la pelota . que puede ser calculado para r > R gracias a la ley de Gauss.

Ley_gauss_T_C23_92.png(2)
\begin{eqnarray} \oint_{S.C.}{\vec{E} \cdot \hat{n}ds}=Q/\varepsilon_0 \\ |\vec{E}| (4 \pi r^2) = Q/\varepsilon_0 \\ |\vec{E}| = Q/(4 \pi \varepsilon_0 r^2) \end{eqnarray}

Recordando que $K=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$

(3)
\begin{align} \vec{E}=\frac{K Q}{r^2} \hat{r} \end{align}

Lo cual no debería sorprender a nadie.

Ahora calculamos dq. Como la linea (de carga) esta uniformemente cargada se cumple que:

(4)
\begin{eqnarray} \lambda = \frac{q}{d}=\frac{dq}{dr}\\ dq=\lambda dr \end{eqnarray}

Luego de acuerdo con Eq.(1) entonces:

(5)
\begin{eqnarray} d \vec{F}=(\frac{K Q}{r^2}\hat{r}) (\lambda dr) \\ \vec{F}=\int_{R}^{R+d}{\frac{K Q \lambda dr}{r^2} \hat{r}} \\ \vec{F}= K Q \lambda \int_{R}^{R+d}{\frac{ dr}{r^2} \hat{r}} \\ \vec{F}= K Q \lambda (\frac{1}{R} - \frac{1}{R+d}) \hat{r} \\ \end{eqnarray}
(6)
\begin{align} \vec{F}= \frac{K Q \lambda d} {R(R+d)} \hat{r} \end{align}
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