V=0

Este problema en particular lo encuentro muy interesante, y salio en mi certamen I de electromagnetismo, cuando yo era un estudiante del curso.

Enunciado

Una carga puntual q=6[C] esta fija en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, y una segunda carga puntual q=-10[C] esta fija en x=9.6 nm, y=0. el lugar geométrico de todos los puntos en el plano xy, cuando V=0, es un circulo centrado en el eje x. Encuentre:

1. La ubicacion x del centro del circulo.
2. ¿Es tambien un circulo la equipotencial V= 5 v? Justifique.

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Solución

Parte 1

Si tomamos un punto P de cordenadas (x,y) que se encuentre a una distancia d₁ de q₁ y a una distancia d₂ de q₂, el potencial en ese punto viene dado por:

(1)

\begin{align} V_p = K (\frac{q_1}{d_1}+\frac{q_2}{d_2})=0 \end{align}

(2)

\begin{align} \to \frac{q_1}{d_1}=\frac{-q_2}{d_2} \to \frac{q_1^2}{d_1^2}=\frac{(-q_2)^2}{d_2^2} \end{align}

Ahora podemos encontrar la posición ${d_1}^2$ y ${d_1}^2$ del punto en el plano que se desea analizar.

(3)

\begin{eqnarray} {d_1}^2 = x^2 + y^2 \\ {d_2}^2 = (a-x)^2 + y^2 \end{eqnarray}

En donde a es la distancia en el eje x que separa a las 2 cargas.

Entonces:

(4)

\begin{eqnarray} \frac{q_1^2}{d_1^2}=\frac{(-q_2)^2}{d_2^2}\\ \frac{q_1^2}{x^2 + y^2}=\frac{(-q_2)^2}{(a-x)^2 + y^2}\\ \frac{36}{x^2 + y^2}=\frac{100}{(a-x)^2 + y^2}\\ 36({(a-x)^2+y^2})=100({x^2+y^2})\\ 36(a^2 - 2ax + x^2 + y^2)=100x^2+100y^2\\ x^2 + y^2 + 2(9/16)ax =(9/16)a^2\\ (x+{9a}/16)^2 + y^2 =(9/16)a^2 + (9/16)^2 a^2\\ \end{eqnarray}

(5)

\begin{equation} (x+{9a}/16)^2 + y^2 =({15a}/16)^2 \end{equation}

Entonces el centro de el circulo esta en $x={-9a}/16=-5.4 {~} mm$

Parte 2

No, porque es obvio que si $V_p{\not=}0$ no se puede escribir la función potencial de la forma en que se escribió en la parte a.